Ara Değer Teoremi — Etkileşimli Grafik

Örnek

y₀y₀ = 0

Sürekliliği boz

Ara Değer Teoremi — anlık değerler
f(a) = f(1)	−1
f(b) = f(2)	5
y₀	0
y₀, f(a) ile f(b) arasında mı?	evet
f, [1, 2] aralığında sürekli mi?	evet
f(‌c) = y₀ olan c	1,3247

Kalemi kaldırmadan çizilen bir eğri, bir yükseklikten başka bir yüksekliğe giderken aradaki her yükseklikten geçmek zorundadır. Ara Değer Teoremi bu sezgiyi kesin bir cümleye çevirir.

Teorem. f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli ve y₀ sayısı f(a) ile f(b) arasında bir değer olsun. Bu durumda [a, b] aralığında $f(c) = y_0$ olacak şekilde en az bir c sayısı vardır.

Şunu dene

y₀ doğrusunu tutup yeşil şerit içinde gezdir. c hep bulunuyor mu?
y₀'ı şeridin dışına çıkar. Teorem artık ne söylüyor?
"Sürekliliği boz"u aç. y₀ = 0 hâlâ şeritte; c'ye ne oldu?
İkinci örneğe geç ve kaç tane c olduğunu say. Sonra sürekliliği boz.

Örnek: x³ − x − 1 = 0'ın [1, 2]'de kökü

f(1) = -1 < 0 < 5 = f(2)

f bir polinom olduğu için her yerde sürekli. 0 sayısı f(1) ile f(2) arasında kaldığından [1, 2]'de f(‌c) = 0 olan en az bir c vardır. Sahnede c ≈ 1,3247. Teorem kökün nerede olduğunu söylemez, yalnız var olduğunu garanti eder.

Örnek: x³ − 15x + 1'in [−4, 4]'te üç kökü

f(-4) = -3,\quad f(-1) = 15,\quad f(1) = -13,\quad f(4) = 5

İşaret üç kez değişiyor: [−4, −1], [−1, 1] ve [1, 4] aralıklarının her birinde teoremi ayrı ayrı uygularsak en az üç kök çıkar. Kübik bir polinomun en fazla üç kökü olduğu için tam üç tanedir. Teoremin "en az bir" demesi bu yüzden önemli: c tek olmak zorunda değil.

Süreklilik neden vazgeçilmez?

"Sürekliliği boz" fonksiyona aralığın içinde bir sıçrama ekler; f(a) ve f(b) değişmez. İlk örnekte y₀ = 0 hâlâ f(a) ile f(b) arasında ama eğri 0'ın üstünden atlıyor ve hiçbir c bulunmuyor. Teoremin varsayımı bozulunca sonucu da düşüyor.

İkinci örnekte sıçrama ortadaki kökü yok ediyor ama kenardaki iki kök kalıyor. Süreklilik yoksa teorem garanti vermez; bu, c'nin kesinlikle olmadığı anlamına gelmez.

$x^3 + x - 1 = 0$ denkleminin bir kökü kesinlikle hangi aralıktadır?

$[-2, -1]$
Yanlış
$f(-2) = -11$ ve $f(-1) = -3$ : ikisi de negatif, işaret değişmiyor.
Çözüm: $f(x) = x^3 + x - 1$ bir polinom, dolayısıyla süreklidir. $f(0) = -1 < 0$ ve $f(1) = 1 > 0$ olduğu için Ara Değer Teoremi'nden $[0, 1]$ aralığında $f(c) = 0$ olan bir $c$ vardır.
$[-1, 0]$
Yanlış
$f(-1) = -3$ ve $f(0) = -1$ : ikisi de negatif.
Çözüm: $f(x) = x^3 + x - 1$ bir polinom, dolayısıyla süreklidir. $f(0) = -1 < 0$ ve $f(1) = 1 > 0$ olduğu için Ara Değer Teoremi'nden $[0, 1]$ aralığında $f(c) = 0$ olan bir $c$ vardır.
$[0, 1]$
Doğru cevap
$f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ ve $f$ sürekli.
Çözüm: $f(x) = x^3 + x - 1$ bir polinom, dolayısıyla süreklidir. $f(0) = -1 < 0$ ve $f(1) = 1 > 0$ olduğu için Ara Değer Teoremi'nden $[0, 1]$ aralığında $f(c) = 0$ olan bir $c$ vardır.
$[1, 2]$
Yanlış
$f(1) = 1$ ve $f(2) = 9$ : ikisi de pozitif.
Çözüm: $f(x) = x^3 + x - 1$ bir polinom, dolayısıyla süreklidir. $f(0) = -1 < 0$ ve $f(1) = 1 > 0$ olduğu için Ara Değer Teoremi'nden $[0, 1]$ aralığında $f(c) = 0$ olan bir $c$ vardır.
$[2, 3]$
Yanlış
$f(2) = 9$ ve $f(3) = 29$ : ikisi de pozitif.
Çözüm: $f(x) = x^3 + x - 1$ bir polinom, dolayısıyla süreklidir. $f(0) = -1 < 0$ ve $f(1) = 1 > 0$ olduğu için Ara Değer Teoremi'nden $[0, 1]$ aralığında $f(c) = 0$ olan bir $c$ vardır.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓f(a) ile f(b) arasındaki her y₀ için f(‌c) = y₀ olan bir c bulunduğunu grafikte görür.
✓Teoremin 'en az bir' dediğini, c'nin birden fazla olabileceğini fark eder.
✓Süreklilik bozulunca y₀ arada kalsa bile c'nin bulunamayabileceğini gösterir.
✓Bir denklemin bir aralıkta kökü olduğunu uçlardaki işaret değişiminden çıkarır.

← Bütün etkileşimli grafikler