Doğru Boyunca Hareket — Etkileşimli Grafik

Hareket

Hızlanma ve yavaşlama aralıklarını göster

Doğru boyunca hareket — anlık değerler
Zaman t	0	s
Konum s(t)	0	m
Hız v(t) = s′(t)	24	m/s
Sürat \|v(t)\|	24	m/s
İvme a(t) = v′(t)	−18	m/s²
Cisim	yavaşlıyor

Bir doğru üzerinde hareket eden cismin konumu s(t) ise hızı konumun, ivmesi de hızın türevidir:

v(t) = \frac{ds}{dt}, \qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}

Yukarıdaki araçta solda cisim kendi ekseni üzerinde hareket ediyor; mavi ok hızı, mor ok ivmeyi gösteriyor. Sağdaki üç grafik aynı hareketin s, v ve a grafikleri. Cisim, s(t) grafiğindeki noktayla aynı yükseklikte durur. Oynat düğmesiyle zamanı akıtabilir ya da grafiklerin üstünde sürükleyerek zamanı elle gezdirebilirsin.

Yukarıdaki araçta şunu dene

s(t) = t³ − 9t² + 24t seçiliyken hareketi oynat. Cisim hangi anlarda duruyor ve geri dönüyor? O anlarda v(t) grafiği nerede?
Zamanı t = 1'e ve t = 5'e getir. Cismin rengi ve v ile a oklarının yönleri ne söylüyor?
"Hızlanma ve yavaşlama aralıklarını göster" anahtarını aç. Yeşil ve turuncu bantların sınırları hangi anlara denk geliyor?
Dikey atışa geç. İvme hep negatif. Top inerken yavaşlıyor mu, hızlanıyor mu?
Yay ve kütleyi seç. a(t) grafiği s(t) grafiğine nasıl benziyor?

Hız, sürat ve ivme

Hızın işareti yönü söyler: v > 0 iken cisim eksenin artan yönünde, v < 0 iken azalan yönünde ilerler. v = 0 olduğu anda cisim bir an durur; v'nin işareti orada değişiyorsa cisim geri döner. s = t³ − 9t² + 24t hareketinde bu anlar t = 2 ve t = 4'tür.

Hızın mutlak değerine sürat denir. Cismin hızlanıp yavaşladığı sürate bakılarak söylenir ve bunu belirleyen v ile a'nın işaretleridir:

v ile a aynı işaretliyse sürat artar, cisim hızlanır.
v ile a zıt işaretliyse sürat azalır, cisim yavaşlar.

a < 0 tek başına "yavaşlıyor" demek değildir. Dikey atışta ivme hep −10 m/s²'dir; top çıkarken v > 0 olduğu için yavaşlar, inerken v < 0 olduğu için hızlanır.

Yay ve kütle

s(t) = 8 sin t hareketinde hız $v(t) = 8\cos t$ , ivme $a(t) = -8\sin t$ olur. İvme her an konumun tersidir: $a = -s$ . Cisim dengeden ne kadar uzaksa onu geri çeken ivme o kadar büyüktür; uç noktalarda hız sıfır, ivme en büyüktür.

Kendini sına

Konumu $s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ metre olan cismin $t = 1$ s anında sürati artıyor mu, azalıyor mu?

Artıyor
Yanlış
$a(1) < 0$ iken $v(1) > 0$ ; işaretler zıt.
Çözüm: $v(t) = 3t^2 - 18t + 24$ ve $a(t) = 6t - 18$ . $t = 1$ 'de $v = 9$ , $a = -12$ . Hız ile ivme zıt işaretli olduğu için cismin sürati azalmaktadır.
Azalıyor
Doğru cevap
$v(1) = 9 > 0$ , $a(1) = -12 < 0$ : zıt işaretli, cisim yavaşlıyor.
Çözüm: $v(t) = 3t^2 - 18t + 24$ ve $a(t) = 6t - 18$ . $t = 1$ 'de $v = 9$ , $a = -12$ . Hız ile ivme zıt işaretli olduğu için cismin sürati azalmaktadır.
Değişmiyor
Yanlış
Sürat ancak $a = 0$ olan anda değişmez.
Çözüm: $v(t) = 3t^2 - 18t + 24$ ve $a(t) = 6t - 18$ . $t = 1$ 'de $v = 9$ , $a = -12$ . Hız ile ivme zıt işaretli olduğu için cismin sürati azalmaktadır.
Cisim duruyor
Yanlış
Cisim $t = 2$ ve $t = 4$ 'te durur; $t = 1$ 'de $v = 9$ .
Çözüm: $v(t) = 3t^2 - 18t + 24$ ve $a(t) = 6t - 18$ . $t = 1$ 'de $v = 9$ , $a = -12$ . Hız ile ivme zıt işaretli olduğu için cismin sürati azalmaktadır.

Yüksekliği $s(t) = 20t - 5t^2$ metre olan top $t = 3$ s anında yavaşlıyor mu, hızlanıyor mu?

Yavaşlıyor, çünkü $a < 0$
Yanlış
İvmenin işareti tek başına yetmez; $v$ 'nin işaretine de bakılır.
Çözüm: $v(t) = 20 - 10t$ , $a(t) = -10$ . $t = 3$ 'te $v = -10$ m/s: top iniyor. $v$ ile $a$ aynı işaretli olduğu için sürat artıyor; top inerken hızlanır.
Hızlanıyor, çünkü $v$ ile $a$ aynı işaretli
Doğru cevap
$v(3) = -10$ , $a = -10$ : ikisi de negatif.
Çözüm: $v(t) = 20 - 10t$ , $a(t) = -10$ . $t = 3$ 'te $v = -10$ m/s: top iniyor. $v$ ile $a$ aynı işaretli olduğu için sürat artıyor; top inerken hızlanır.
Hızlanıyor, çünkü $a > 0$
Yanlış
Dikey atışta $a = -10$ m/s²; hep negatif.
Çözüm: $v(t) = 20 - 10t$ , $a(t) = -10$ . $t = 3$ 'te $v = -10$ m/s: top iniyor. $v$ ile $a$ aynı işaretli olduğu için sürat artıyor; top inerken hızlanır.
Sabit hızla iniyor
Yanlış
İvme sıfır olmadığı için hız değişiyor.
Çözüm: $v(t) = 20 - 10t$ , $a(t) = -10$ . $t = 3$ 'te $v = -10$ m/s: top iniyor. $v$ ile $a$ aynı işaretli olduğu için sürat artıyor; top inerken hızlanır.

Konumu $s(t) = 8\sin t$ cm olan kütlenin $t = \pi/2$ anındaki konumu, hızı ve ivmesi nedir?

$s = 8$ , $v = 0$ , $a = -8$
Doğru cevap
Uç noktada cisim bir an durur, ivme dengeye doğrudur.
Çözüm: $v(t) = 8\cos t$ , $a(t) = -8\sin t$ . $t = \pi/2$ 'de $s = 8$ cm, $v = 0$ , $a = -8$ cm/s². Kütle en üst noktada bir an durur ve ivme onu dengeye doğru çeker.
$s = 8$ , $v = 8$ , $a = 0$
Yanlış
Bunlar $t = 0$ 'daki değerlerin tersi; $\cos(\pi/2) = 0$ .
Çözüm: $v(t) = 8\cos t$ , $a(t) = -8\sin t$ . $t = \pi/2$ 'de $s = 8$ cm, $v = 0$ , $a = -8$ cm/s². Kütle en üst noktada bir an durur ve ivme onu dengeye doğru çeker.
$s = 0$ , $v = 8$ , $a = 0$
Yanlış
Bu, $t = 0$ anı: denge konumu.
Çözüm: $v(t) = 8\cos t$ , $a(t) = -8\sin t$ . $t = \pi/2$ 'de $s = 8$ cm, $v = 0$ , $a = -8$ cm/s². Kütle en üst noktada bir an durur ve ivme onu dengeye doğru çeker.
$s = 8$ , $v = 0$ , $a = 8$
Yanlış
$a = -s$ ; konum $+8$ iken ivme $-8$ 'dir.
Çözüm: $v(t) = 8\cos t$ , $a(t) = -8\sin t$ . $t = \pi/2$ 'de $s = 8$ cm, $v = 0$ , $a = -8$ cm/s². Kütle en üst noktada bir an durur ve ivme onu dengeye doğru çeker.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓Hızı konumun türevi, ivmeyi hızın türevi olarak okur.
✓v = 0 anlarında cismin durup yön değiştirdiğini grafikte ve hareketin üstünde görür.
✓Cismin hızlanıp yavaşladığını a'nın tek başına işaretinden değil, v ile a'nın işaretlerinin aynı ya da zıt olmasından anlar.

← Bütün etkileşimli grafikler