İlişkili Değişim Oranları — Etkileşimli Grafik

Soru

İlişkili değişim oranları — anlık değerler
Zaman t	0	dk
Yarıçap r	1	cm
Hacim V	4,2	cm³
dV/dt (verilen)	100π ≈ 314,2	cm³/dk
dr/dt = (dV/dt) / (4πr²) = 25/r²	25	cm/dk

Bazı problemlerde iki nicelik birbirine bir denklemle bağlıdır ve ikisi de zamanla değişir. Birinin ne hızla değiştiğini biliyorsak denklemin iki tarafının $t$ 'ye göre türevini alarak ötekinin hızını buluruz. Örneğin kürenin hacmi ile yarıçapı arasında

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}

bağı vardır. Sağdaki $\frac{dr}{dt}$ çarpanı zincir kuralından gelir: $r$ da zamana bağlıdır.

Yukarıdaki araçta solda olay, sağda niceliklerin zamana göre grafikleri var. Bir grafiğin o andaki eğimi, o niceliğin o andaki değişim hızıdır; her grafiğin köşesinde bu eğim yazılı. Mor kesikli çizgi sorunun sorulduğu anı gösteriyor.

Yukarıdaki araçta şunu dene

Balonu oynat. V(t) bir doğru, r(t) ise bükülen bir eğri. Hacim sabit hızla artarken yarıçap neden gittikçe yavaş büyüyor?
Zamanı soru anına (r = 5 cm) getir. dr/dt kaç?
Lamba ve gölgeye geç. Kişi direkten uzaklaştıkça gölgenin ucunun hızı değişiyor mu?
Dikdörtgende alanın grafiğine bak. Alan önce artıyor, sonra azalıyor. Soru anında dA/dt'nin işareti ne?
Çembere geç. x hep aynı hızla artıyor; y'nin hızı nerede sıfır oluyor, (3, 4) noktasında kaç?

Çözüm adımları

Şekli çiz, değişen nicelikleri adlandır.
Nicelikler arasındaki bağı yaz.
Bağın iki tarafının $t$ 'ye göre türevini al.
Bilinen değerleri türev aldıktan sonra yerine koy.

Dördüncü adımın sırası önemli. Balonda $r = 5$ değerini türev almadan önce yerine koysaydık $r$ bir sabit olurdu ve $\frac{dr}{dt}$ denklemden kaybolurdu. Araçta da görüldüğü gibi yarıçapın hızı her an farklıdır; soru yalnız bir anı soruyor.

Dört sorunun çözümü

Balon: $\frac{dV}{dt} = 100\pi$ ve $r = 5$ için $100\pi = 4\pi \cdot 25 \cdot \frac{dr}{dt}$ , yani $\frac{dr}{dt} = 1$ cm/dk.

Lamba ve gölge: direk, kişi ve ışın iki benzer üçgen kurar. Kişinin direğe uzaklığı $x$ , gölgenin ucunun direğe uzaklığı $s$ ise

\frac{s}{6} = \frac{s - x}{1{,}8} \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{10}{7}x

olur. Türev alınca $\frac{ds}{dt} = \frac{10}{7}\cdot 1{,}5 = \frac{15}{7}$ m/s bulunur. Gölgenin boyu $L = s - x = \frac{3}{7}x$ olduğundan $\frac{dL}{dt} = \frac{3}{7}\cdot 1{,}5 = \frac{9}{14}$ m/s. Bağ doğrusal olduğu için bu hızlar kişinin nerede olduğuna bağlı değildir; araçtaki üç grafik de doğrudur.

Dikdörtgen: $A = ab$ ise çarpım kuralıyla $\frac{dA}{dt} = b\frac{da}{dt} + a\frac{db}{dt} = 6 \cdot 3 + 10 \cdot (-2) = -2$ cm²/s. Uzun kenar uzasa da alan o anda küçülüyor. Çevre için $\frac{dP}{dt} = 2\left(\frac{da}{dt} + \frac{db}{dt}\right) = 2$ cm/s.

Çember: $x^2 + y^2 = 25$ bağının iki tarafının türevi

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}

olur. $(3, 4)$ noktasında $\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4}\cdot 2 = -1{,}5$ birim/s: nokta sağa giderken aşağı iniyor. Araçta görüldüğü gibi bu hız noktanın yerine bağlı; çemberin tepesinde ( $x = 0$ ) sıfır, sağa doğru indikçe büyüyor. Hız oku her an çembere teğet.

Kendini sına

Aynı balon ( $\frac{dV}{dt} = 100\pi$ cm³/dk) yarıçapı 10 cm olduğunda yarıçap ne hızla artar?

1 cm/dk
Yanlış
Bu, $r = 5$ anındaki hız; $r = 10$ 'da $r^2$ dört katına çıkar.
Çözüm: $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}$ ise $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{100\pi}{4\pi r^2} = \dfrac{25}{r^2}$ . $r = 10$ cm için $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$ cm/dk.
0,5 cm/dk
Yanlış
Hız $r$ ile değil $r^2$ ile ters orantılı.
Çözüm: $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}$ ise $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{100\pi}{4\pi r^2} = \dfrac{25}{r^2}$ . $r = 10$ cm için $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$ cm/dk.
0,25 cm/dk
Doğru cevap
$\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{100\pi}{4\pi \cdot 100} = 0{,}25$ .
Çözüm: $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}$ ise $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{100\pi}{4\pi r^2} = \dfrac{25}{r^2}$ . $r = 10$ cm için $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$ cm/dk.
2 cm/dk
Yanlış
Balon büyüdükçe yarıçapın artış hızı azalır, artmaz.
Çözüm: $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \dfrac{dr}{dt}$ ise $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{100\pi}{4\pi r^2} = \dfrac{25}{r^2}$ . $r = 10$ cm için $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$ cm/dk.

Kişi direkten uzaklaştıkça gölgesinin ucunun hızı nasıl değişir?

Artar
Yanlış
Bağ $s = \frac{10}{7}x$ doğrusal; katsayı sabit.
Çözüm: $s = \dfrac{10}{7}x$ bağında $x$ 'in katsayısı sabit. Türev $\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{10}{7}\dfrac{dx}{dt}$ olur; kişi sabit hızla yürüdükçe gölgenin ucu da sabit hızla ilerler.
Azalır
Yanlış
Bağ doğrusal olduğu için hız değişmez.
Çözüm: $s = \dfrac{10}{7}x$ bağında $x$ 'in katsayısı sabit. Türev $\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{10}{7}\dfrac{dx}{dt}$ olur; kişi sabit hızla yürüdükçe gölgenin ucu da sabit hızla ilerler.
Değişmez
Doğru cevap
$\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{10}{7}\dfrac{dx}{dt}$ ; $x$ 'e bağlı değil.
Çözüm: $s = \dfrac{10}{7}x$ bağında $x$ 'in katsayısı sabit. Türev $\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{10}{7}\dfrac{dx}{dt}$ olur; kişi sabit hızla yürüdükçe gölgenin ucu da sabit hızla ilerler.
Önce artar sonra azalır
Yanlış
Araçtaki $s(t)$ grafiği bir doğru.
Çözüm: $s = \dfrac{10}{7}x$ bağında $x$ 'in katsayısı sabit. Türev $\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{10}{7}\dfrac{dx}{dt}$ olur; kişi sabit hızla yürüdükçe gölgenin ucu da sabit hızla ilerler.

Uzun kenar 10 cm, kısa kenar 6 cm iken ( $\frac{da}{dt} = 3$ , $\frac{db}{dt} = -2$ cm/s) dikdörtgenin alanı artıyor mu, azalıyor mu?

Artıyor, çünkü uzun kenar uzuyor
Yanlış
Kısa kenarın kısalması da alanı etkiler; ikisini birlikte hesaba katmak gerekir.
Çözüm: $\dfrac{dA}{dt} = b\dfrac{da}{dt} + a\dfrac{db}{dt} = 6 \cdot 3 + 10 \cdot (-2) = -2$ cm²/s. Negatif olduğu için alan o anda azalıyor: uzun kenarın uzaması 18 cm²/s kazandırırken kısa kenarın kısalması 20 cm²/s kaybettiriyor.
Azalıyor
Doğru cevap
$\dfrac{dA}{dt} = 6 \cdot 3 + 10 \cdot (-2) = -2 < 0$ .
Çözüm: $\dfrac{dA}{dt} = b\dfrac{da}{dt} + a\dfrac{db}{dt} = 6 \cdot 3 + 10 \cdot (-2) = -2$ cm²/s. Negatif olduğu için alan o anda azalıyor: uzun kenarın uzaması 18 cm²/s kazandırırken kısa kenarın kısalması 20 cm²/s kaybettiriyor.
Değişmiyor, çünkü biri artıp öteki azalıyor
Yanlış
Artış ve azalış hızları kenarların uzunluğuyla çarpılır; birbirini götürmez.
Çözüm: $\dfrac{dA}{dt} = b\dfrac{da}{dt} + a\dfrac{db}{dt} = 6 \cdot 3 + 10 \cdot (-2) = -2$ cm²/s. Negatif olduğu için alan o anda azalıyor: uzun kenarın uzaması 18 cm²/s kazandırırken kısa kenarın kısalması 20 cm²/s kaybettiriyor.
Bilinemez
Yanlış
Çarpım kuralı o anki değişim hızını verir.
Çözüm: $\dfrac{dA}{dt} = b\dfrac{da}{dt} + a\dfrac{db}{dt} = 6 \cdot 3 + 10 \cdot (-2) = -2$ cm²/s. Negatif olduğu için alan o anda azalıyor: uzun kenarın uzaması 18 cm²/s kazandırırken kısa kenarın kısalması 20 cm²/s kaybettiriyor.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓İki nicelik bir denklemle bağlıysa değişim hızlarının da bağlı olduğunu görür.
✓Bağıntının iki tarafının t'ye göre türevini alarak bilinmeyen değişim hızını bulur.
✓Değişim hızının çoğu zaman anlık bir değer olduğunu, bu yüzden değerlerin türevden sonra yerine konduğunu fark eder.

← Bütün etkileşimli grafikler