Kapalı Aralıkta Ekstremum — Etkileşimli Grafik

Fonksiyon

Sol uç

aa = 0

Sağ uç

bb = 3

Kapalı Aralıkta Ekstremum — anlık değerler
Aralık	[0, 3]
Uç değer teoremi garanti veriyor mu?	evet: aralık kapalı
Aralığın içindeki kritik noktalar	yok
f(0) · uç	0
f(3) · uç	9
Mutlak maksimum	9 (x = 3)
Mutlak minimum	0 (x = 0)
Yerel maksimum (x)	3
Yerel minimum (x)	0

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük değeri mutlak maksimum, en küçük değeri mutlak minimumdur. Uç değer teoremi, f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekliyse ikisinin de var olduğunu söyler. Nerede aranacaklarını ise türev söyler: bir iç noktada alınan ekstremumda türev ya sıfırdır ya da yoktur. Böyle noktalara kritik nokta denir.

Yukarıdaki araçta şunu dene

x²'de aralığı [0, 3] bırak. Mutlak maksimum ve minimum nerede?
Sol ucu açık yap: (0, 3]. Minimuma ne oldu? Sonra sağ ucu da açık yap.
İki ucu da sınırsız yap. Hangisi kaldı?
İkinci fonksiyona geç ve "Kitaptaki aralık"a bas. Maksimum kaç yerde alınıyor?
x³'e geç. x = 0 kritik nokta, ama orada ekstremum var mı?

Kapalı aralıkta yöntem

(a, b) aralığındaki kritik noktaları bul.
f'nin kritik noktalardaki ve a, b uçlarındaki değerlerini hesapla.
Bu değerlerin en büyüğü mutlak maksimum, en küçüğü mutlak minimumdur.

Örneğin $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ , [0, 4] için $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ olduğundan kritik noktalar 1 ve 3. Adaylar $f(0) = -1$ , $f(1) = 3$ , $f(3) = -1$ , $f(4) = 3$ : mutlak maksimum 3, mutlak minimum −1 ve ikisi de iki ayrı noktada alınıyor.

Aralık kapalı değilse

Açık uçtaki değer aday olamaz, çünkü o nokta aralıkta yok. f oraya istediği kadar yaklaşır ama ulaşmaz. x² için (0, 3]'te f, 0'a yaklaşır; fakat 0'ı hiçbir noktada almaz, bu yüzden mutlak minimum yoktur. Araçta bu durum kesikli bir çizgi ve boş halkayla gösteriliyor.

$f(x) = x^2$ fonksiyonunun (−1, 2) aralığındaki mutlak ekstremum değerleri nedir?

Maksimum 4, minimum 0
Yanlış
$x = 2$ aralıkta değil: aralık $(-1, 2)$ açık.
Çözüm: $f'(x) = 2x$ , kritik nokta $x = 0$ ve $f(0) = 0$ . Uçlar açık: $x \to -1^+$ iken $f \to 1$ , $x \to 2^-$ iken $f \to 4$ . En küçük aday 0 ve alınıyor; en büyük aday 4 ama alınmıyor. Mutlak minimum 0, mutlak maksimum yok.
Maksimum yok, minimum 0
Doğru cevap
$f$ , $x \to 2^-$ iken 4'e yaklaşır ama ulaşmaz; $f(0) = 0$ alınır.
Çözüm: $f'(x) = 2x$ , kritik nokta $x = 0$ ve $f(0) = 0$ . Uçlar açık: $x \to -1^+$ iken $f \to 1$ , $x \to 2^-$ iken $f \to 4$ . En küçük aday 0 ve alınıyor; en büyük aday 4 ama alınmıyor. Mutlak minimum 0, mutlak maksimum yok.
Maksimum 1, minimum 0
Yanlış
$f(1{,}9) = 3{,}61 > 1$ : 1'den büyük değerler var.
Çözüm: $f'(x) = 2x$ , kritik nokta $x = 0$ ve $f(0) = 0$ . Uçlar açık: $x \to -1^+$ iken $f \to 1$ , $x \to 2^-$ iken $f \to 4$ . En küçük aday 0 ve alınıyor; en büyük aday 4 ama alınmıyor. Mutlak minimum 0, mutlak maksimum yok.
İkisi de yok
Yanlış
$x = 0$ aralığın içinde ve $f(0) = 0$ en küçük değer.
Çözüm: $f'(x) = 2x$ , kritik nokta $x = 0$ ve $f(0) = 0$ . Uçlar açık: $x \to -1^+$ iken $f \to 1$ , $x \to 2^-$ iken $f \to 4$ . En küçük aday 0 ve alınıyor; en büyük aday 4 ama alınmıyor. Mutlak minimum 0, mutlak maksimum yok.

$f(x) = x^3 - 12x + k$ fonksiyonunun [−3, 3] aralığındaki mutlak maksimum değeri 15'tir. Mutlak minimum değeri kaçtır?

$-17$
Doğru cevap
$k = -1$ için adaylar $15, -17, -10, 8$ ; en küçüğü $-17$ .
Çözüm: $f'(x) = 3x^2 - 12 = 0$ ise $x = \pm 2$ . Adaylar $f(-3) = 9 + k$ , $f(-2) = 16 + k$ , $f(2) = -16 + k$ , $f(3) = -9 + k$ . En büyüğü $16 + k = 15$ , yani $k = -1$ . Mutlak minimum $f(2) = -17$ .
$-10$
Yanlış
$f(-3) = -10$ bir uç değeri; $f(2)$ daha küçük.
Çözüm: $f'(x) = 3x^2 - 12 = 0$ ise $x = \pm 2$ . Adaylar $f(-3) = 9 + k$ , $f(-2) = 16 + k$ , $f(2) = -16 + k$ , $f(3) = -9 + k$ . En büyüğü $16 + k = 15$ , yani $k = -1$ . Mutlak minimum $f(2) = -17$ .
$-1$
Yanlış
Bu $k$ 'nin değeri, minimum değil.
Çözüm: $f'(x) = 3x^2 - 12 = 0$ ise $x = \pm 2$ . Adaylar $f(-3) = 9 + k$ , $f(-2) = 16 + k$ , $f(2) = -16 + k$ , $f(3) = -9 + k$ . En büyüğü $16 + k = 15$ , yani $k = -1$ . Mutlak minimum $f(2) = -17$ .
$0$
Yanlış
Adayları karşılaştır: $f(2) = 8 - 24 + k$ .
Çözüm: $f'(x) = 3x^2 - 12 = 0$ ise $x = \pm 2$ . Adaylar $f(-3) = 9 + k$ , $f(-2) = 16 + k$ , $f(2) = -16 + k$ , $f(3) = -9 + k$ . En büyüğü $16 + k = 15$ , yani $k = -1$ . Mutlak minimum $f(2) = -17$ .

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓Mutlak ve yerel ekstremum değerlerini grafik üzerinde ayırt eder.
✓Mutlak ekstremumun ya bir kritik noktada ya da bir uç noktada alındığını görür.
✓Aralık kapalı değilse ya da sınırlı değilse ekstremumun alınmayabileceğini fark eder.
✓Kapalı aralıkta mutlak ekstremumu kritik noktalar ve uçlardaki değerleri karşılaştırarak bulur.

← Bütün etkileşimli grafikler