Kesenden Teğete — Etkileşimli Grafik

Eğri

P noktasının apsisi (a)a = 1

h — Q, P'den ne kadar uzaktah = 1

Teğet doğrusunu göster

Kesenden teğete — anlık değerler
P(a, f(a))	(1; 1)
Q(a + h, f(a + h))	(2; 4)
h (yatay fark)	1,00
Δy = f(a + h) − f(a)	3,0000
Ortalama değişim oranı Δy/h (kesen eğimi)	3,0000

Eğri üzerinde iki nokta al: P ve Q. İkisinden geçen doğruya kesen denir ve eğimi, fonksiyonun bu iki nokta arasındaki ortalama değişim oranıdır.

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Bir eğrinin P noktasındaki eğimini istiyoruz, ama eğim iki nokta ister. Çözüm: Q'yu P'ye yaklaştırıp kesen eğimlerinin neye gittiğine bakmak.

m = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Şunu dene

h = 1 iken kesen eğimini oku. Sonra h = 0,1 ve h = 0,01'e bas. Eğim hangi sayıya yürüyor?
h = 0'a bas. Neden bir sayı yerine 0/0 çıkıyor?
h'yi negatif yap: Q, P'nin soluna geçer. Eğim yine aynı sayıya mı gidiyor?
"Teğet doğrusunu göster"i aç ve kesenle karşılaştır.
Eğriyi y = 1/x yap. Teğet eğiminin −1/4 olduğu noktaları bul.

Birinci örnek: y = x², P(1, 1)

m = \lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-1}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h(2+h)}{h} = \lim_{h\to 0}(2+h) = 2

Kesen eğimi her h için tam olarak 2 + h. Sahnede h'yi küçülttükçe tablodaki sayı 2'ye yürüyor. Teğet doğrusu P(1, 1)'den geçer ve eğimi 2'dir: y − 1 = 2(x − 1), yani y = 2x − 1.

h = 0'da sadeleştirme yapılamaz: h ile bölmek ancak h ≠ 0 iken geçerli. Tam bu yüzden eğimi h = 0 koyarak değil, h → 0 limitiyle tanımlarız.

İkinci örnek: y = 1/x, x = a

m = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{-1}{a(a+h)} = -\frac{1}{a^2}

Eğimin −1/4 olması için a² = 4, yani a = 2 ya da a = −2. Teğet noktaları (2, 1/2) ve (−2, −1/2). Sahnede a'yı 2 ve −2 yapıp teğeti açarak iki doğrunun da aynı eğimde, birbirine paralel olduğunu görebilirsin.

$y = x^2$ eğrisinin $P(2, 4)$ noktasındaki teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

$2$
Yanlış
Bu, $P(1,1)$ 'deki eğim. Eğim noktadan noktaya değişir: $x^2$ 'de $2a$ .
Çözüm: $m = \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(4+h) = 4$ . Teğet doğrusu $y - 4 = 4(x-2)$ , yani $y = 4x - 4$ . Sahnede a'yı 2 yapıp h'yi küçültebilirsin.
$4$
Doğru cevap
$\frac{(2+h)^2-4}{h} = 4 + h \to 4$ .
Çözüm: $m = \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(4+h) = 4$ . Teğet doğrusu $y - 4 = 4(x-2)$ , yani $y = 4x - 4$ . Sahnede a'yı 2 yapıp h'yi küçültebilirsin.
$4 + h$
Yanlış
Bu kesen eğimi; limit alınınca $h$ kaybolur.
Çözüm: $m = \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(4+h) = 4$ . Teğet doğrusu $y - 4 = 4(x-2)$ , yani $y = 4x - 4$ . Sahnede a'yı 2 yapıp h'yi küçültebilirsin.
$\frac{0}{0}$
Yanlış
$h = 0$ koymak tanımsızdır; eğim limitle bulunur.
Çözüm: $m = \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(4+h) = 4$ . Teğet doğrusu $y - 4 = 4(x-2)$ , yani $y = 4x - 4$ . Sahnede a'yı 2 yapıp h'yi küçültebilirsin.
$8$
Yanlış
$f(2) = 4$ 'ü 2 ile çarpmak eğim vermez.
Çözüm: $m = \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(4+h) = 4$ . Teğet doğrusu $y - 4 = 4(x-2)$ , yani $y = 4x - 4$ . Sahnede a'yı 2 yapıp h'yi küçültebilirsin.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓Ortalama değişim oranının, eğri üzerindeki iki noktadan geçen kesen doğrusunun eğimi olduğunu görür.
✓h küçüldükçe kesen doğrusunun teğet doğrusuna döndüğünü ve eğiminin bir sayıya yaklaştığını izler.
✓h = 0'da oranın 0/0 olduğunu, bu yüzden teğet eğiminin bir limit olarak tanımlandığını açıklar.
✓Teğet eğimini ve teğet doğrusunun denklemini limit tanımıyla bulur.

← Bütün etkileşimli grafikler