İçeriğe geç
Hafta içi 12.00'ye kadar verilen siparişler aynı gün kargoda0546 155 50 17 (WhatsApp, yeni sekmede açılır)Telefonla ara: 0312 922 03 90Yenilikler

Etkileşimli Grafikler · Türev Uygulamaları

Ortalama Değer Teoremi

A'dan B'ye kesen çiz, sonra P'yi gezdirerek ona paralel teğeti bul. Şartlardan biri bozulunca böyle bir teğet olmayabilir.

Üniversite· 7 dk· Ücretsiz, üyelik gerekmez
Fonksiyon
c'leri göster
Ortalama Değer Teoremi — anlık değerler
f(a), f(b)1; 27
Kesenin eğimi (f(b) − f(a)) / (b − a)13
P'deki teğetin eğimi f′(1,5)6,75
f, [1; 3] aralığında sürekli mi?evet
f, aralığın içinde türevlenebilir mi?evet
f′(‌c) = kesenin eğimi olan cgizli: önce P ile kendin bul

f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli ve (a, b) açık aralığında türevlenebilirse

f(b)−f(a)b−a=f′(c)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

olacak biçimde en az bir c∈(a,b)c \in (a, b) vardır. Soldaki oran A ile B'yi birleştiren kesenin eğimi, sağdaki ise c noktasındaki teğetin eğimi. Teorem, kesene paralel en az bir teğet bulunduğunu söyler. f(a) = f(b) ise kesen yataydır ve teorem Rolle teoremine dönüşür: bir yerde f′(c) = 0 olur.

Yukarıdaki araçta şunu dene

  1. P'yi eğri boyunca gezdir. Teğet keseye paralel olunca mor yanar. O anda p kaç?
  2. "c'leri göster"i aç ve bulduğun değeri karşılaştır.
  3. x³ − 4x'e geç. Kesen yatay; kaç c var?
  4. Köşe örneğine geç. f(a) = f(b) ama yatay teğet yok. Hangi şart bozuk?
  5. Köşe örneğinde B'yi sürükleyerek köşenin soluna al. c ne oldu?

ÖRNEK: x³ için [1, 3]

f(3)−f(1)3−1=27−12=13=3c2⟹c=133≈2,0817\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{2} = 13 = 3c^2 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{\tfrac{13}{3}} \approx 2{,}0817

c aralığın ortasında değil: x³ sağa doğru dikleştiği için ortalama eğime 1'den 3'e yolun ortasından sonra ulaşılıyor.

Şartlar neden gerekli?

Teorem iki şart koyar ve araçtaki son üç örnek her birinin neden gerektiğini gösterir:

  • Köşe: f sürekli ama x = 0'da türevlenemiyor. Eğim −1'den 1'e sıçrıyor, arada hiç 0 olmuyor.
  • Uçta sıçrama: f, a'da sürekli değil. İçeride eğim hep −1, kesen ise yatay.
  • İçte sıçrama: f, x = 1'de sürekli değil. İki parçanın eğimi 0,8 ve −0,5; ikisi de kesenin eğimine eşit değil.

Şart bozulunca teorem bir şey söylemez. Bu, c'nin kesinlikle olmadığı anlamına gelmez; yalnız garanti yoktur.

1

f(x)=x3f(x) = x^3 için [0, 2] aralığında ortalama değer teoreminin sonucundaki c kaçtır?

  • c=1c = 1
    Yanlış

    Bu aralığın orta noktası; f′(1)=2≠4f'(1) = 2 \ne 4.

    Çözüm: Kesenin eğimi f(2)−f(0)2−0=8−02=4\dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{8 - 0}{2} = 4. f′(c)=3c2=4f'(c) = 3c^2 = 4 ise c=±23c = \pm\dfrac{2}{\sqrt 3}; (0,2)(0, 2) aralığında olan c=23≈1,155c = \dfrac{2}{\sqrt 3} \approx 1{,}155.

  • c=23c = \dfrac{2}{\sqrt 3}
    Doğru cevap

    3c2=43c^2 = 4, c>0c > 0.

    Çözüm: Kesenin eğimi f(2)−f(0)2−0=8−02=4\dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{8 - 0}{2} = 4. f′(c)=3c2=4f'(c) = 3c^2 = 4 ise c=±23c = \pm\dfrac{2}{\sqrt 3}; (0,2)(0, 2) aralığında olan c=23≈1,155c = \dfrac{2}{\sqrt 3} \approx 1{,}155.

  • c=2c = \sqrt 2
    Yanlış

    f′(2)=6f'(\sqrt 2) = 6; kesenin eğimi 4.

    Çözüm: Kesenin eğimi f(2)−f(0)2−0=8−02=4\dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{8 - 0}{2} = 4. f′(c)=3c2=4f'(c) = 3c^2 = 4 ise c=±23c = \pm\dfrac{2}{\sqrt 3}; (0,2)(0, 2) aralığında olan c=23≈1,155c = \dfrac{2}{\sqrt 3} \approx 1{,}155.

  • Böyle bir cc yok
    Yanlış

    ff polinom: şartlar sağlanıyor, en az bir cc var.

    Çözüm: Kesenin eğimi f(2)−f(0)2−0=8−02=4\dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{8 - 0}{2} = 4. f′(c)=3c2=4f'(c) = 3c^2 = 4 ise c=±23c = \pm\dfrac{2}{\sqrt 3}; (0,2)(0, 2) aralığında olan c=23≈1,155c = \dfrac{2}{\sqrt 3} \approx 1{,}155.

2

f her yerde türevlenebilir, f(1)=−2f(1) = -2 ve her x için 1≤f′(x)≤41 \le f'(x) \le 4 olsun. f(5) için hangisi doğrudur?

  • −2≤f(5)≤14-2 \le f(5) \le 14
    Yanlış

    Alt sınırda türevin alt sınırı 1 kullanılmalı.

    Çözüm: Ortalama değer teoreminden f(5)−f(1)=f′(c) (5−1)=4f′(c)f(5) - f(1) = f'(c)\,(5 - 1) = 4f'(c). 1≤f′(c)≤41 \le f'(c) \le 4 olduğundan 4≤f(5)+2≤164 \le f(5) + 2 \le 16, yani 2≤f(5)≤142 \le f(5) \le 14.

  • 2≤f(5)≤142 \le f(5) \le 14
    Doğru cevap

    f(5)=f(1)+4f′(c)f(5) = f(1) + 4f'(c) ve 1≤f′(c)≤41 \le f'(c) \le 4.

    Çözüm: Ortalama değer teoreminden f(5)−f(1)=f′(c) (5−1)=4f′(c)f(5) - f(1) = f'(c)\,(5 - 1) = 4f'(c). 1≤f′(c)≤41 \le f'(c) \le 4 olduğundan 4≤f(5)+2≤164 \le f(5) + 2 \le 16, yani 2≤f(5)≤142 \le f(5) \le 14.

  • 4≤f(5)≤164 \le f(5) \le 16
    Yanlış

    f(1)=−2f(1) = -2'yi eklemeyi unutma.

    Çözüm: Ortalama değer teoreminden f(5)−f(1)=f′(c) (5−1)=4f′(c)f(5) - f(1) = f'(c)\,(5 - 1) = 4f'(c). 1≤f′(c)≤41 \le f'(c) \le 4 olduğundan 4≤f(5)+2≤164 \le f(5) + 2 \le 16, yani 2≤f(5)≤142 \le f(5) \le 14.

  • f(5)=6f(5) = 6
    Yanlış

    Teorem cc'yi söylemez; yalnız sınır verir.

    Çözüm: Ortalama değer teoreminden f(5)−f(1)=f′(c) (5−1)=4f′(c)f(5) - f(1) = f'(c)\,(5 - 1) = 4f'(c). 1≤f′(c)≤41 \le f'(c) \le 4 olduğundan 4≤f(5)+2≤164 \le f(5) + 2 \le 16, yani 2≤f(5)≤142 \le f(5) \le 14.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

  • ✓Ortalama değer teoreminin kesene paralel bir teğetin varlığını söylediğini grafikte görür.
  • ✓Rolle teoremini, kesenin yatay olduğu özel durum olarak tanır.
  • ✓Süreklilik ya da türevlenebilirlik bozulunca teoremin garanti vermediğini örneklerle gösterir.
  • ✓Verilen bir aralıkta teoremin sonucundaki c değerini hesaplar.

← Bütün etkileşimli grafikler