Sıkıştırma Teoremi — Etkileşimli Grafik

Sıfıra yakınlaş×1,0

Sıkıştırma teoremi — anlık değerler
x	0,9000
g(x) = −x²	−0,8100
f(x) = x² sin(1/x)	0,7259
h(x) = x²	0,8100
Huninin genişliği h(x) − g(x)	1,620

Bazı fonksiyonların limitini doğrudan hesaplayamayız: x² sin(1/x) sıfırda sonsuz kez salınır. Ama iki basit fonksiyonun arasına sıkıştırabiliyorsak, limitini onlardan okuyabiliriz.

Teorem. c noktasını içeren bir açık aralıkta, c'nin kendisi hariç her x için $g(x) \le f(x) \le h(x)$ olsun. Eğer

\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L \quad\text{ise}\quad \lim_{x\to c} f(x) = L

Şunu dene

x² sin(1/x)'te x noktasını sıfıra doğru sürükle. Huninin genişliği ne oluyor?
f'yi x² cos(3/x) yap. Eğri değişti; huni ve limit değişti mi?
"Başka bir f üret"e birkaç kez bas. Her f farklı; limitleri neden aynı?
"Sıfıra yakınlaş"ı çek. Eğri yakından da kıvrımlı ama hep huninin içinde.

f'nin formülü neden önemsiz?

"Başka bir f üret" her basışta huninin içinde yeni bir eğri çizer. Bu eğrilerin formülünü bilmiyoruz, tahmin etmeye de gerek yok. Tek bildiğimiz, her birinin g ile h arasında kaldığı. x → 0 iken huninin ağzı kapandığı için arada kalan her eğri aynı noktaya gitmek zorunda.

Ders örneği

-x^2 \le x^2\sin\tfrac{1}{x} \le x^2 \;\Rightarrow\; \lim_{x\to 0} x^2\sin\tfrac{1}{x} = 0

−1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 olduğu için her iki tarafı x² ile çarpmak yeter. x² cos(3/x) için de aynı zarf çalışır, çünkü kosinüs de −1 ile 1 arasında kalır.

$\lim_{x\to 0} x\sin\tfrac{1}{x}$ limitinin değeri nedir?

$0$
Doğru cevap
$-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ ve iki zarf da 0'a gider.
Çözüm: $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ eşitsizliğini $|x|$ ile çarparsak $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ olur. $x \to 0$ iken $-|x|$ ve $|x|$ ikisi de 0'a gittiği için Sıkıştırma Teoremi'nden limit 0'dır.
$1$
Yanlış
$\frac{\sin x}{x} \to 1$ ile karıştırılmış; burada açı $1/x$ ve sonsuza gidiyor.
Çözüm: $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ eşitsizliğini $|x|$ ile çarparsak $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ olur. $x \to 0$ iken $-|x|$ ve $|x|$ ikisi de 0'a gittiği için Sıkıştırma Teoremi'nden limit 0'dır.
$-1$
Yanlış
$\sin\frac{1}{x}$ 'in alt sınırı $-1$ , ama $x$ ile çarpılınca zarf daralır.
Çözüm: $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ eşitsizliğini $|x|$ ile çarparsak $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ olur. $x \to 0$ iken $-|x|$ ve $|x|$ ikisi de 0'a gittiği için Sıkıştırma Teoremi'nden limit 0'dır.
Limit yoktur
Yanlış
$\sin\frac{1}{x}$ 'in limiti yoktur, ama $x$ ile çarpım sıkışır.
Çözüm: $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ eşitsizliğini $|x|$ ile çarparsak $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ olur. $x \to 0$ iken $-|x|$ ve $|x|$ ikisi de 0'a gittiği için Sıkıştırma Teoremi'nden limit 0'dır.
$\infty$
Yanlış
Çarpım $|x|$ ile sınırlı; büyüyemez.
Çözüm: $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ eşitsizliğini $|x|$ ile çarparsak $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ olur. $x \to 0$ iken $-|x|$ ve $|x|$ ikisi de 0'a gittiği için Sıkıştırma Teoremi'nden limit 0'dır.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) eşitsizliğini grafikte bir huni olarak görür.
✓g ve h aynı limite gidiyorsa arada kalan f'nin de oraya gittiğini açıklar.
✓Teoremin f'nin formülüne ihtiyaç duymadığını, rastgele eğrilerle sınar.
✓x² sin(1/x) limitini −x² ve x² zarflarıyla bulur.

← Bütün etkileşimli grafikler