Sıfır Civarında Trigonometrik Limitler

Limit

Sıfıra yakınlaş×1,0

Sıfır civarında trigonometrik limitler — anlık değerler
x (radyan)	1,8000
sin x	0,97385
Yaklaşım: x	1,8000
Fark: x − (sin x)	0,826
sin x / x	0,541026

x = 0'da sin x / x tanımsız: pay da payda da sıfır. Ama sıfırın hemen yanında sinüs fonksiyonu neredeyse y = x doğrusu gibi davranır. İki sayı neredeyse eşitse oranları da neredeyse 1'dir.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad (x \text{ radyan})

Şunu dene

Başlangıçta iki eğri belirgin biçimde ayrı. Turuncu parça neyi gösteriyor?
"Sıfıra yakınlaş" kaydırıcısını yavaşça sağa çek. Eğriler ne zaman ayırt edilemez oluyor?
Tablodaki oranı izle. Hangi sayıya yaklaşıyor?
Limiti "sin 2x / x" yap ve aynısını tekrarla. Oran bu kez neye gidiyor?
"(1 − cos x) / x²"yi seç. Bu kez pay bir doğruya mı, bir parabole mi benziyor?

Ne görüyorsun?

Uzaktan bakınca sinüs bir dalga. Ama orijine yaklaştıkça eğrilik kaybolur ve geriye düz bir çizgi kalır; o çizgi de tam olarak y = x doğrusudur. Bu yüzden küçük x için $\sin x \approx x$ yazılır.

Turuncu parça iki eğri arasındaki fark. Fark da küçülüyor, ama asıl önemli olan x'ten çok daha hızlı küçülmesi: x'i 10 kat küçültünce fark yaklaşık 1000 kat küçülür. Bu yüzden oran 1'e gider.

Aynı fikir, başka limitler

Payı sıfır civarındaki yaklaşımıyla değiştirince limit kendiliğinden çıkar:

\frac{\sin 2x}{x} \approx \frac{2x}{x} = 2 \qquad\qquad \frac{1-\cos x}{x^2} \approx \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}

sin 2x de sıfırda bir doğruya dönüşür ama bu doğru y = 2x'tir; eğimi iki katıdır. 1 − cos x ise bir doğruya değil parabole dönüşür: sıfırda teğeti yataydır, o yüzden x ile değil x² ile karşılaştırılır. Grafikte bu seçenekte y ekseni x'in karesiyle daralır, parabol yakınlaştıkça şeklini korur.

Neden radyan?

y = x doğrusu sinüsün sıfırdaki teğetidir ve bu teğetin eğimi yalnız açı radyanla ölçülünce 1'dir. Açı derece ile ölçülürse teğetin eğimi π/180 olur ve oran 1'e değil π/180 ≈ 0,01745'e gider. Teoremdeki "radyan" şartı buradan gelir.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$ limitinin değeri kaçtır?

$1$
Yanlış
Payda da $3x$ olsaydı sonuç 1 olurdu; burada payda $x$ .
Çözüm: Sıfır civarında $\sin 3x \approx 3x$ olduğundan $\frac{\sin 3x}{x} \approx \frac{3x}{x} = 3$ . Daha resmî yolu: $u = 3x$ dersek $\frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin u}{u} \to 3$ .
$3$
Doğru cevap
Sıfır civarında $\sin 3x \approx 3x$ , yani oran $\approx 3x/x = 3$ .
Çözüm: Sıfır civarında $\sin 3x \approx 3x$ olduğundan $\frac{\sin 3x}{x} \approx \frac{3x}{x} = 3$ . Daha resmî yolu: $u = 3x$ dersek $\frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin u}{u} \to 3$ .
$\frac{1}{3}$
Yanlış
Çarpan ters alınmış: $\sin 3x \approx 3x$ , oran $3x/x$ .
Çözüm: Sıfır civarında $\sin 3x \approx 3x$ olduğundan $\frac{\sin 3x}{x} \approx \frac{3x}{x} = 3$ . Daha resmî yolu: $u = 3x$ dersek $\frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin u}{u} \to 3$ .
$0$
Yanlış
$\sin 3x \to 0$ ama payda da 0'a gidiyor; oran 0 değil.
Çözüm: Sıfır civarında $\sin 3x \approx 3x$ olduğundan $\frac{\sin 3x}{x} \approx \frac{3x}{x} = 3$ . Daha resmî yolu: $u = 3x$ dersek $\frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin u}{u} \to 3$ .
Limit yoktur
Yanlış
Sağdan ve soldan limit aynı: 3.
Çözüm: Sıfır civarında $\sin 3x \approx 3x$ olduğundan $\frac{\sin 3x}{x} \approx \frac{3x}{x} = 3$ . Daha resmî yolu: $u = 3x$ dersek $\frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin u}{u} \to 3$ .

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓Sıfır civarında sin x ile y = x eğrilerinin ayırt edilemez hâle geldiğini görür.
✓Küçük x için sin x ≈ x, sin 2x ≈ 2x ve 1 − cos x ≈ x²/2 yaklaşımlarını sayılarla doğrular.
✓Bir limiti, payın sıfır civarındaki yaklaşımını paydaya bölerek bulur.

← Bütün etkileşimli grafikler