Türevin Tanımı — Etkileşimli Grafik

Fonksiyon

P noktasının apsisi (x₀)x₀ = 1

h — Q, P'den ne kadar uzaktah = 0,5

İki yandan kesen (h > 0 ve h < 0 birlikte)

Türevi ve teğeti göster

Türevin tanımı — anlık değerler
P(x₀, f(x₀))	(1; 2)
Fark bölümü [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h	5,75
Sağdan: h = 0,1 · 0,01 · 0,001	4,31 · 4,0301 · 4,003
Soldan: h = −0,1 · −0,01 · −0,001	3,71 · 3,9701 · 3,997

P ile Q arasındaki kesenin eğimine fark bölümü denir. h sıfıra yaklaşırken bu sayı bir limite gidiyorsa, o limit f'nin x₀'daki türevidir:

f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

h burada iki yandan sıfıra gider. h > 0 iken Q, P'nin sağındadır (mavi); h < 0 iken solundadır (turuncu). Limitin var olması için iki yandan gelen değerlerin aynı sayıya yaklaşması gerekir.

Yukarıdaki araçta şunu dene

x³ + x seçiliyken h'yi 0,5'ten 0,01'e indir, sonra −0,01'e geç. Fark bölümü hangi sayıya yaklaşıyor? Tablodaki iki satır aynı sayıya mı gidiyor?
"Türevi ve teğeti göster" anahtarını aç; teğet doğrusunun denklemini oku.
|x|'i seç ve "İki yandan kesen"i aç. h'yi küçült: mavi ve turuncu kesenler birbirine yaklaşıyor mu?
∛x ve ∛(x²)'yi sırayla dene. h küçüldükçe fark bölümü neye oluyor? Teğet nasıl bir doğru?
Parçalı 1 ve Parçalı 2'yi karşılaştır. Hangisinde x = 1'de türev var?

Sağdan ve soldan türev

h'yi yalnız pozitif değerlerle sıfıra yaklaştırırsak sağdan türevi, yalnız negatif değerlerle yaklaştırırsak soldan türevi buluruz:

\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \qquad \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Türev, bu iki limit var ve birbirine eşitse vardır. Araçtaki tablonun iki satırı tam olarak bu iki limiti tahmin ediyor.

Türev ne zaman yoktur?

Araçtaki son dört fonksiyon, türevin olmadığı tipik durumları gösteriyor.

Köşe (|x|, x = 0): sağdan türev 1, soldan türev −1. İki limit de var ama eşit değil; mavi ve turuncu kesenler h ne kadar küçülürse küçülsün ayrı kalır.
Düşey teğet (∛x, x = 0): fark bölümü iki yandan da sınırsız büyür. Türev yoktur, ama eğrinin o noktada düşey bir teğeti vardır: x = 0 doğrusu.
Sivri uç (∛(x²), x = 0): fark bölümü sağdan +∞'a, soldan −∞'a gider. Tek bir teğet doğrusu oluşmaz.
Süreksizlik (Parçalı 2, x = 1): soldan gelen Q, grafiğin kopukluğu yüzünden P'ye hiç yaklaşmaz; fark bölümü −∞'a kaçar. Bir noktada türevi olan fonksiyon o noktada süreklidir, bu yüzden süreksiz bir noktada türev aranmaz.

Parçalı 1'de iki farklı formül x = 1'de birleşiyor ama iki parçanın orada eğimi aynı (2). Kesenler iki yandan aynı sayıya yaklaşır; fonksiyon x = 1'de türevlenebilir. Parçalı tanım tek başına türevi engellemez.

√x'te x₀'ı 0'a getir: solda fonksiyon tanımlı olmadığı için yalnız sağdan fark bölümü hesaplanabilir, o da sınırsız büyür.

Kendini sına

$f(x) = x^3 + x$ fonksiyonunun $x_0 = 1$ noktasındaki türevi ve teğet doğrusu hangisidir?

$f'(1) = 3$ , teğet $y = 3x - 1$
Yanlış
$f(1) = 2$ ve $f'(x) = 3x^2 + 1$ ; bu yüzden $f'(1) = 4$ .
Çözüm: $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^3 + (1+h) - 2}{h} = h^2 + 3h + 4$ . $h \to 0$ iken limit $4$ 'tür. Teğet $P(1, 2)$ 'den geçer: $y - 2 = 4(x - 1)$ , yani $y = 4x - 2$ .
$f'(1) = 4$ , teğet $y = 4x - 2$
Doğru cevap
Fark bölümü $h^2 + 3h + 4$ 'e sadeleşir; $h \to 0$ iken $4$ 'e gider.
Çözüm: $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^3 + (1+h) - 2}{h} = h^2 + 3h + 4$ . $h \to 0$ iken limit $4$ 'tür. Teğet $P(1, 2)$ 'den geçer: $y - 2 = 4(x - 1)$ , yani $y = 4x - 2$ .
$f'(1) = 4$ , teğet $y = 4x + 2$
Yanlış
Teğet $P(1, 2)$ 'den geçmeli: $2 = 4 \cdot 1 + b$ , yani $b = -2$ .
Çözüm: $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^3 + (1+h) - 2}{h} = h^2 + 3h + 4$ . $h \to 0$ iken limit $4$ 'tür. Teğet $P(1, 2)$ 'den geçer: $y - 2 = 4(x - 1)$ , yani $y = 4x - 2$ .
$f'(1) = 2$ , teğet $y = 2x$
Yanlış
$2$ , $f(1)$ 'in değeri; eğim değil.
Çözüm: $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^3 + (1+h) - 2}{h} = h^2 + 3h + 4$ . $h \to 0$ iken limit $4$ 'tür. Teğet $P(1, 2)$ 'den geçer: $y - 2 = 4(x - 1)$ , yani $y = 4x - 2$ .

$f(x) = |x|$ için $x = 0$ 'da sağdan ve soldan türev nedir?

Sağdan $1$ , soldan $1$ ; türev var
Yanlış
Solda $|x| = -x$ ; fark bölümü $\dfrac{-h}{h} = -1$ .
Çözüm: $h > 0$ için $\dfrac{|h| - 0}{h} = 1$ , $h < 0$ için $\dfrac{|h|}{h} = -1$ . Sağdan türev $1$ , soldan türev $-1$ ; eşit olmadıkları için $|x|$ , $x = 0$ 'da türevlenebilir değildir.
Sağdan $1$ , soldan $-1$ ; türev yok
Doğru cevap
İki tek taraflı türev var ama eşit değil.
Çözüm: $h > 0$ için $\dfrac{|h| - 0}{h} = 1$ , $h < 0$ için $\dfrac{|h|}{h} = -1$ . Sağdan türev $1$ , soldan türev $-1$ ; eşit olmadıkları için $|x|$ , $x = 0$ 'da türevlenebilir değildir.
Sağdan $0$ , soldan $0$ ; türev $0$
Yanlış
$|x|$ 'in x = 0'daki değeri 0; eğimi değil.
Çözüm: $h > 0$ için $\dfrac{|h| - 0}{h} = 1$ , $h < 0$ için $\dfrac{|h|}{h} = -1$ . Sağdan türev $1$ , soldan türev $-1$ ; eşit olmadıkları için $|x|$ , $x = 0$ 'da türevlenebilir değildir.
İkisi de sonsuz; düşey teğet var
Yanlış
Fark bölümü her $h$ için $1$ ya da $-1$ ; büyümüyor.
Çözüm: $h > 0$ için $\dfrac{|h| - 0}{h} = 1$ , $h < 0$ için $\dfrac{|h|}{h} = -1$ . Sağdan türev $1$ , soldan türev $-1$ ; eşit olmadıkları için $|x|$ , $x = 0$ 'da türevlenebilir değildir.

$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ x^2, & x \geq 1 \end{cases}$ fonksiyonu $x = 1$ 'de türevlenebilir mi?

Türevlenebilir, $f'(1) = 2$
Yanlış
Sağdan türev $2$ , ama soldan fark bölümü bir sayıya gitmiyor.
Çözüm: $\lim_{x\to 1^{-}} (x + 1) = 2$ ama $f(1) = 1^2 = 1$ ; $f$ , $x = 1$ 'de süreksizdir. Türevi olan fonksiyon o noktada sürekli olmak zorunda olduğu için $f$ , $x = 1$ 'de türevlenebilir değildir.
Türevlenebilir, $f'(1) = 1$
Yanlış
$1$ , sol parçanın eğimi; ama sol parça $x = 1$ 'de $2$ 'ye ulaşıyor, $f(1) = 1$ değil.
Çözüm: $\lim_{x\to 1^{-}} (x + 1) = 2$ ama $f(1) = 1^2 = 1$ ; $f$ , $x = 1$ 'de süreksizdir. Türevi olan fonksiyon o noktada sürekli olmak zorunda olduğu için $f$ , $x = 1$ 'de türevlenebilir değildir.
Türevlenebilir değil; $f$ , $x = 1$ 'de süreksiz
Doğru cevap
Soldan limit $2$ , $f(1) = 1$ ; süreksiz noktada türev olmaz.
Çözüm: $\lim_{x\to 1^{-}} (x + 1) = 2$ ama $f(1) = 1^2 = 1$ ; $f$ , $x = 1$ 'de süreksizdir. Türevi olan fonksiyon o noktada sürekli olmak zorunda olduğu için $f$ , $x = 1$ 'de türevlenebilir değildir.
Türevlenebilir değil; $x = 1$ 'de köşe var
Yanlış
Köşede fonksiyon süreklidir; burada grafik kopuk.
Çözüm: $\lim_{x\to 1^{-}} (x + 1) = 2$ ama $f(1) = 1^2 = 1$ ; $f$ , $x = 1$ 'de süreksizdir. Türevi olan fonksiyon o noktada sürekli olmak zorunda olduğu için $f$ , $x = 1$ 'de türevlenebilir değildir.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓Türevi, fark bölümünün h → 0 limiti olarak okur ve tablodaki değerlerden tahmin eder.
✓Sağdan ve soldan türevi ayırt eder; türevin ancak ikisi aynı sonlu sayıysa var olduğunu görür.
✓Köşe, sivri uç, düşey teğet ve süreksizlik noktalarında türevin neden olmadığını açıklar.

← Bütün etkileşimli grafikler