Türevin Grafiği — Etkileşimli Grafik

Fonksiyon

P'nin yerix = −2,40

f′'nün tamamını göster

Türevin grafiği — anlık değerler
x	−2,40
f(x) = x²	5,76
Teğetin eğimi f′(x) = 2x	−4,80
f bu noktada	azalıyor

Bir noktadaki türev, o noktadaki teğet doğrusunun eğimidir. Noktayı serbest bırakırsak her x için bir eğim elde ederiz; böylece türev bir sayı olmaktan çıkar, x'e bağlı bir fonksiyon olur:

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Yukarıdaki araçta üst grafik f, alt grafik f′. P'yi gezdirdikçe P'deki teğetin eğimi altta bir nokta olarak işaretlenir. Geçtiğin her yerde bir iz kalır; böylece türevin grafiğini kendin çizmiş olursun.

Yukarıdaki araçta şunu dene

f(x) = x² seçiliyken P'yi en soldan en sağa yavaşça gezdir. Alttaki iz nasıl bir çizgi oluşturuyor?
"f′'nün tamamını göster" anahtarını aç ve izinle karşılaştır.
f(x) = x³/3 − x'e geç. Hangi iki noktada teğet yatay? Alttaki iz o noktalarda ne yapıyor?
eˣ'i seç. Üstteki ve alttaki grafik neden aynı görünüyor?
sin x'i seç. Alttaki iz hangi tanıdık eğriyi çiziyor?

Grafikten ne okunur?

Teğetin rengi eğimin işaretini gösteriyor; alttaki iz de aynı renkte.

f arttığı yerde teğet yukarı eğiktir, eğim pozitiftir: f′'nün grafiği eksenin üstündedir.
f azaldığı yerde eğim negatiftir: f′'nün grafiği eksenin altındadır.
Teğetin yatay olduğu yerde eğim sıfırdır: f′'nün grafiği ekseni keser. x³/3 − x için bu noktalar x = −1 ve x = 1'dir; türevi $f'(x) = x^2 - 1$ tam bu iki noktada sıfır olur.

f′'nün değeri teğetin ne kadar dik olduğunu da söyler. x² için P sağa gittikçe teğet dikleşir ve $f'(x) = 2x$ büyür.

İki fonksiyon özel. eˣ'in her noktadaki eğimi, o noktadaki yüksekliğine eşittir; bu yüzden türevi kendisidir. sin x'in eğimi ise cos x'in değerini izler: $(\sin x)' = \cos x$ . Bu eşitlik yalnız x radyanla ölçüldüğünde doğrudur; nedenini Radyan Nedir? sayfasında görebilirsin.

Kendini sına

Bir f fonksiyonu (−1, 1) aralığında azalıyor. Bu aralıkta f′(x)'in işareti nedir?

Pozitif
Yanlış
Pozitif eğim, f'nin arttığı yerlerde olur.
Çözüm: Bir aralıkta azalan fonksiyonun teğetleri aşağı eğiktir, yani eğimleri negatiftir. Türevin grafiği bu aralıkta eksenin altında kalır.
Negatif
Doğru cevap
Azalan fonksiyonun teğetleri aşağı eğiktir; eğim negatiftir.
Çözüm: Bir aralıkta azalan fonksiyonun teğetleri aşağı eğiktir, yani eğimleri negatiftir. Türevin grafiği bu aralıkta eksenin altında kalır.
Sıfır
Yanlış
Sıfır, teğetin yatay olduğu tek tek noktalarda olur; bütün bir aralıkta değil.
Çözüm: Bir aralıkta azalan fonksiyonun teğetleri aşağı eğiktir, yani eğimleri negatiftir. Türevin grafiği bu aralıkta eksenin altında kalır.
Bilinemez
Yanlış
Azalmak, eğimin işaretini belirler.
Çözüm: Bir aralıkta azalan fonksiyonun teğetleri aşağı eğiktir, yani eğimleri negatiftir. Türevin grafiği bu aralıkta eksenin altında kalır.

$f(x) = \tfrac{x^3}{3} - x$ fonksiyonunun grafiğinde teğet hangi noktalarda yataydır?

$x = 0$
Yanlış
$f'(0) = -1$ ; teğet bu noktada aşağı eğik.
Çözüm: $f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ için $f'(x) = x^2 - 1$ . Teğet yatay olduğunda eğim sıfırdır: $x^2 - 1 = 0$ , yani $x = \pm 1$ .
$x = -1$ ve $x = 1$
Doğru cevap
$f'(x) = x^2 - 1 = 0$ ise $x = \pm 1$ .
Çözüm: $f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ için $f'(x) = x^2 - 1$ . Teğet yatay olduğunda eğim sıfırdır: $x^2 - 1 = 0$ , yani $x = \pm 1$ .
$x = -\sqrt{3}$ ve $x = \sqrt{3}$
Yanlış
Bunlar $f$ 'nin sıfırları; $f'$ 'nün değil.
Çözüm: $f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ için $f'(x) = x^2 - 1$ . Teğet yatay olduğunda eğim sıfırdır: $x^2 - 1 = 0$ , yani $x = \pm 1$ .
Hiçbir yerde
Yanlış
Araçta iki yatay teğet görünüyor.
Çözüm: $f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ için $f'(x) = x^2 - 1$ . Teğet yatay olduğunda eğim sıfırdır: $x^2 - 1 = 0$ , yani $x = \pm 1$ .

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓f′(x)'in, f'nin x noktasındaki teğet eğimi olduğunu ve x'e göre değişen bir fonksiyon olduğunu görür.
✓Bir fonksiyonun grafiğinden türevinin grafiğini nokta nokta çizer.
✓f'nin arttığı yerde f′ > 0, azaldığı yerde f′ < 0, yatay teğetin olduğu yerde f′ = 0 olduğunu okur.
✓eˣ'in türevinin kendisi, sin x'in türevinin cos x olduğunu grafik üzerinde görür.

← Bütün etkileşimli grafikler