Radyan Nedir? — Etkileşimli Grafik

Tam turu 360 dereceye bölmek keyfî bir seçimdir; radyan ise açıyı çemberin kendi uzunluğuyla ölçer. Bu sayfada radyanın ne olduğunu, π'nin nereden geldiğini ve trigonometride, fizikte, kalkülüste neden radyan kullanıldığını araçları kurcalayarak göreceksin.

Bir yarıçap boyunda ip

Adım

Tahminin25°

Doğru cevabı göster

Yarıçap boyundaki ipi çembere sarmak — anlık değerler
Senin tahminin	25	°
1 radyan	?	°
Fark	?	°

Yukarıdaki araçta şunu dene

Önce tahmin et: yayı tam bir yarıçap boyunda olan merkez açı kaç derece? Mor ışını sürükle, sonra doğru cevabı aç.
"İpi sar" adımına geç. Her renkli parça bir yarıçap boyunda. 1, 2, 3 ip sar ve merkez açıya bak.
Yarım çembere kaç ip sığıyor? Tam bir sayı mı?
Tam turu tamamla. Altıncı ipten sonra ne kadar boşluk kalıyor?
"Yere ser" adımında çemberi yuvarla. Yerdeki ipin boyu ile tekerin döndüğü açıyı karşılaştır.

Yarıçap boyundaki bir ipi çemberin kenarına yerleştirince merkezde oluşan açıya 1 radyan denir. İki ip iki radyan, üç ip üç radyandır. Yani bir açının radyan ölçüsü, gördüğü yayın kaç yarıçap boyunda olduğunu söyler. θ merkez açı, s yay uzunluğu, r yarıçap olmak üzere:

\theta = \frac{s}{r}

Örnek: yarıçapı 3 cm olan bir çemberde 2 cm uzunluğundaki yayı gören merkez açı kaç radyandır?

Şekil ölçeklidir: yay yarıçaptan kısa, bu yüzden açı 1 radyandan küçük.

Yay, yarıçapın üçte ikisi kadar. Demek ki açı da 1 radyanın üçte ikisi:

\theta = \frac{s}{r} = \frac{2\ \text{cm}}{3\ \text{cm}} = \frac{2}{3}\ \text{rad} \approx 0{,}67\ \text{rad}

Santimetreler sadeleşir; geriye yalnız bir sayı kalır.

Bir radyan yaklaşık 57,3°'dir. Onu olduğundan küçük tahmin etmek sık rastlanan bir yanılgıdır: "1" sayısı küçük bir açıyı çağrıştırır. Büyüklüğünü akılda tutmanın kolay bir yolu var. Kirişi r olan merkez açı 60°'dir, çünkü o zaman üçgen eşkenardır. Yay kirişten uzun olduğu için yayı r olan açı 60°'den biraz küçüktür:

Yay kirişten biraz uzun olduğu için yayı r olan açı, kirişi r olan açıdan biraz küçüktür: 57,3° < 60°.

"Yere ser" adımı aynı tanımı tersten gösterir. Kaymadan yuvarlanan bir teker θ radyan döndüğünde yere r·θ uzunluğunda iz bırakır: eğri yay düz bir çizgiye dönüşür, boyu değişmez. Kayma olmadığı için tekerin merkezi de aynı yolu alır. Bu, fizikteki yuvarlanma hareketinin $s = r\theta$ bağıntısıdır ve θ yalnız radyan olduğunda bu kadar sadedir.

π nereden geliyor?

Çemberin çevresi $2\pi r$ 'dir; yani çemberin etrafına $2\pi \approx 6{,}28$ yarıçap sığar. Altı ip sardıktan sonra kalan küçük boşluk, 0,28 yarıçaplık parçadır. Tam tur bu yüzden 2π radyan, yarım tur π radyandır:

\begin{aligned} 2\pi \text{ rad} &= 360^\circ \\ \pi \text{ rad} &= 180^\circ \\ 1 \text{ rad} &= \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ \end{aligned}

Yani π, açı ölçüsüne sonradan eklenmiş bir sabit değildir; çemberin çevresinden doğrudan çıkan 3,14159… sayısıdır.

Sık yapılan hata "π = 180" yazmaktır. π ≈ 3,14 bir sayıdır; 180'e eşit değildir. Doğrusu şudur: π radyan, 180 dereceye eşittir. Benzer şekilde "100 santimetre 1 metredir" doğru bir cümledir ama "100 = 1" yazılmaz.

Kısa tarihçe

Tam turun 360 derece olması büyük olasılıkla Babillilere dayanır: 60 tabanlı sayı sistemleri ve yaklaşık 360 günlük takvimleri bu sayıyı elverişli kılıyordu. Açıyı yarıçapla ölçme fikri ise çok daha yenidir; 1700'lerin başında İngiliz matematikçi Roger Cotes bu ölçünün "doğal" olduğunu fark etti. "Radian" sözcüğü ilk kez 1873'te, James Thomson'ın Belfast'taki sınav sorularında basılı olarak görüldü. Radyan bugün SI'da boyutsuz türetilmiş birim olarak geçer.

Gözünü eğit: bu açı kaç radyan?

Radyanı tanımak, büyüklüğünü gözle kestirebilmek demek. Bu oyunda açıyı gör, turuncu yayın kaç yarıçap boyunda olduğunu tahmin et.

Oyun

Radyan Avı

Ekrana bir açı gelecek. Turuncu yay kaç yarıçap boyunda? Dört seçenekten doğrusunu bul. 10 tur; art arda doğrular seri bonusu getirir.

Dereceden radyana, radyandan dereceye

180° ile π radyan aynı açı olduğuna göre çevirme bir orantıdır:

\begin{aligned} \text{radyan} &= \text{derece} \cdot \frac{\pi}{180} \\[6pt] \text{derece} &= \text{radyan} \cdot \frac{180}{\pi} \end{aligned}

Örneğin $30^\circ = 30 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{\pi}{6}$ , $135^\circ = \tfrac{3\pi}{4}$ . Sınavda en sık geçen açılar birim çemberde şöyle:

Öteki çeyreklerdeki açılar simetriyle bulunur: 2π/3 = 120°, 3π/4 = 135°, 5π/6 = 150° …

İçinde π olmayan radyan değerleri de açıdır. 2 radyan, iki yarıçap boyunda yayı gören açıdır: $2 \cdot \tfrac{180^\circ}{\pi} \approx 114{,}6^\circ$ . π yalnız açı derecenin "yuvarlak" bir kesri olduğunda ortaya çıkar.

Radyan bir oran, bu yüzden boyutsuz

Merkez açı1,20 rad ≈ 69°

En küçük yarıçap (r)2 cm

Yayları ve oranları göster

Aynı merkez açı, farklı çemberler — anlık değerler
Yarıçap r = 2,0 cm: s₁	2,40 cm
Yarıçap 2r = 4,0 cm: s₂	?
Yarıçap 3r = 6,0 cm: s₃	?
Merkez açı	?	rad

Yukarıdaki araçta şunu dene

Önce tahmin et: s₁ ekranda yazıyor. Yarıçapı 2r ve 3r olan çemberlerdeki yaylar, s₂ ve s₃, kaç cm olur?
"Yayları ve oranları göster" anahtarını aç ve tahminini kontrol et.
Merkez açıyı sabit tut, "En küçük yarıçap (r)" kaydırıcısıyla çemberleri büyütüp küçült. Tablodaki üç s / r oranı değişiyor mu?

Aynı merkez açıyı iki farklı çemberde düşün. Büyük çember, küçüğün büyütülmüş bir kopyasıdır. Büyütmede bütün uzunluklar aynı katla büyür: yay iki katına çıkıyorsa yarıçap da iki katına çıkar. Bu yüzden yayın yarıçapa oranı değişmez; açıyı ölçerken çemberin büyüklüğü önemli değildir.

Açı iki uzunluğun oranı olduğu için boyutsuzdur. Yay 5 m, yarıçap 5 m ise

\theta = \frac{5\ \text{m}}{5\ \text{m}} = 1\ \text{rad}

olur. Metreler sadeleşir. Yine de açıyı yazarken "rad" eklenir: bu etiket, sayının dereceyle değil radyanla ölçülmüş bir açı olduğunu söyler. Derece de aslında boyutsuzdur; farkı, 1'e değil π/180'e eşit olmasıdır. Etiketin neden önemli olduğunu aşağıda fizik bölümünde göreceğiz.

Sayı doğrusunu çembere sarmak

x1,00 rad

Sayı doğrusunu birim çembere sarmak — anlık değerler
x (yürünen yol = açı)	1,00	rad
Aynı açı derece ile	57,3	°
Tur sayısı (x / 2π)	0,16	tur
Aynı noktaya düşen [0, 2π) değeri	1,00	rad
cos x (P'nin yatay koordinatı)	0,540
sin x (P'nin dikey koordinatı)	0,841

Yukarıdaki araçta şunu dene

x'i 0'dan π/2'ye götür. P noktası nerede? cos x ve sin x kaç?
x = π ve x = 2π için tekrarla. Grafiklerde ne oluyor?
x'i 4π'ye kadar sür. P, 2π'de ve 4π'de nerede? Grafikler neden tekrar ediyor?
x'i negatif yap. P hangi yönde ilerliyor?

Yarıçapı 1 olan çemberde (birim çember) yayın uzunluğu, merkez açının radyan cinsinden ölçüsüne eşittir: $s = 1 \cdot \theta$ . Bu sayede bir sayı doğrusunu (1, 0) noktasından başlatıp saat yönünün tersine çemberin etrafına sarabilirsin. Her x sayısı çember üzerinde bir noktaya düşer. O noktanın koordinatlarına kosinüs ve sinüs denir:

P(x) = (\cos x,\ \sin x)

Bu tanımla sinüs ve kosinüs bir dik üçgendeki oranlar olmaktan çıkar ve her gerçek sayı için tanımlı fonksiyonlara dönüşür. Dik üçgen tanımı yalnız 0 ile π/2 arasındaki açılar için geçerliydi; birim çember tanımı bu aralıkta onunla aynı sonucu verir, aralığın dışında da geçerli kalır.

Negatif x: aynı yolu saat yönünde yürümek.
2π'den büyük x: turu tamamlayıp yürümeye devam etmek.
0, 2π, 4π aynı nokta: her 2π'de bir başa dönülür. Aynı noktanın koordinatları aynı olduğu için sinüs ve kosinüs 2π ile periyodiktir: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ .

Fizikte radyan: boyutsuz ama yazılır

Boyut analiziyle söylersek hem s hem r uzunluktur (boyutu L), bu yüzden açının boyutu yoktur:

[\theta] = \frac{[s]}{[r]} = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = 1

SI'da radyan bu yüzden "boyutsuz türetilmiş birim" olarak geçer. Bunun fizikte iki sonucu var.

Birincisi, radyan hesabın sonunda düşer. Dönen bir cismin üzerindeki noktanın çizgisel hızı $v = \omega r$ 'dir. Açısal hızın birimi rad/s, yarıçapınki m olduğu için çarpımın birimi rad·m/s olur; rad = 1 olduğundan sonuç m/s'dir. Bu yalnız ω rad/s ise geçerlidir: ω °/s ya da devir/dk verilmişse önce rad/s'ye çevirmek gerekir, yoksa sonuç 57 kat ya da 2π kat yanlış çıkar.

İkincisi, "rad" yazmak yine de boşuna değildir, çünkü boyutu aynı olan büyüklükleri birbirinden ayırır. Açısal hızın da frekansın da boyutu 1/s'dir. Ama açısal hız saniyede taranan açıyı (rad/s), frekans ise saniyede atılan tur sayısını (Hz) verir. Aynı mantıkla açısal ivme de rad/s² yazılır; birim, büyüklüğün açısal olduğunu belli eder.

Bir tur 2π radyan olduğu için açısal hız ile frekans arasında şu bağ vardır:

\omega = 2\pi f

Yani 1 Hz, 1 rad/s demek değildir. Saniyede bir tam tur atan bir tekerin frekansı 1 Hz, açısal hızı $2\pi \approx 6{,}28$ rad/s'dir. Birim yazmadan "açısal hız 1" demek, 1 rad/s'nin mi yoksa 1 Hz'lik dönüşün mü kastedildiğini belirsiz bırakır.

Hesap makinesinde radyan

Hesap makinesinin açı modu iki türlüdür: DEG (derece) ve RAD (radyan). Aynı tuşlar iki modda farklı sonuç verir. sin 30° hesaplamak isterken makine RAD modundaysa, makine 30'u radyan sayar ve $\sin 30 \approx -0{,}988$ bulur; doğru cevap ½'dir. 30 radyan, yaklaşık 4,8 tur demektir.

Fizikte bu tuzak sık karşına çıkar. Harmonik hareketteki $x = A\sin(\omega t)$ ifadesinde ωt radyandır, makine RAD modunda olmalıdır. Sarkacın periyodunu veren $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ formülü de küçük açılarda $\sin\theta \approx \theta$ yaklaşımına dayanır ve bu yaklaşım yalnız θ radyansa geçerlidir. Nedenini aşağıdaki kalkülüs bölümünde göreceksin.

Kalkülüs neden radyan ister?

Görünüm

x'i ölçen birim

Sıfıra yakınlaş×1,0

Kalkülüs neden radyan ister — anlık değerler
x'in birimi	radyan
sin x'in sıfırdaki eğimi	1
x = 0,01 için sin x / x	0,99998
(sin x)′	cos x

Yukarıdaki araçta şunu dene

"Sıfırdaki eğim" görünümünde birimi radyan bırak ve yakınlaş. Siyah eğriyi mor y = x doğrusundan ayırt edebiliyor musun?
Birimi dereceye çevir. Aynı eğriye ne oldu? Eğimi kaç?
"Alan ispatı" görünümüne geç. P'yi sürükle ve üç alanın sırasını izle. Sıra hiç bozuluyor mu?
x'i 0,1'e indir. $\dfrac{\sin x}{x}$ hangi sayıya yaklaşıyor?

x radyanla ölçülür ve eksenler eşit ölçekli olursa, sinüs eğrisi sıfırda y = x doğrusuna teğet olur. Eğim tam 1'dir; bu yüzden küçük x için $\sin x \approx x$ yazılabilir. Aynı eğri dereceyle çizilince x ekseni yaklaşık 57 kat uzar ve eğim $\pi/180 \approx 0{,}0175$ 'e düşer. O zaman türev de sadeliğini kaybeder:

\begin{aligned} \text{radyan:}\quad & \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \\[6pt] \text{derece:}\quad & \frac{d}{dx}\sin(x^\circ) = \frac{\pi}{180}\cos(x^\circ) \end{aligned}

Eğimin 1 olduğunu grafikte görmek bir gözlemdir; ispatı ise alanlardan gelir. $0 < x < \pi/2$ için birim çemberde küçük üçgen, daire dilimi ve büyük üçgen iç içedir:

Üçgen OAP: ½ · 1 · sin x = ½ sin x
Dilim OAP: ½ · 1² · x = ½ x
Üçgen OAT: ½ · 1 · tan x = ½ tan x

Birim çemberde: OA = OP = 1, PH = sin x, AP yayı = x, AT = tan x.

İki üçgenin de tabanı OA = 1. Küçük üçgenin yüksekliği PH = sin x, büyük üçgeninki AT = tan x. Radyan ispata dilimin alanında girer: dilim alanı formülü $\tfrac{1}{2} r^2 \theta$ , yalnız θ radyan cinsindeyse doğrudur. Çünkü dilim, tam dairenin θ / 2π kadarıdır:

\text{dilim alanı} = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 \theta

Birim çemberde r = 1 ve θ = x olduğundan dilimin alanı ½ x'tir. Alanları sıraya dizince:

\frac{1}{2}\sin x \;<\; \frac{1}{2}x \;<\; \frac{1}{2}\tan x

Her yanı ½ sin x'e böl, sonra üç terimin de tersini al:

\begin{aligned} &1 \;<\; \frac{x}{\sin x} \;<\; \frac{1}{\cos x} \\[8pt] \Longrightarrow\quad &\cos x \;<\; \frac{\sin x}{x} \;<\; 1 \end{aligned}

0 ile π/2 arasında sin x pozitif olduğu için bölme eşitsizliğin yönünü değiştirmez. Tersini almak ise yönü değiştirir: pozitif sayılarda büyük olanın tersi küçüktür (2 < 3 iken ½ > ⅓).

x sıfıra giderken cos x 1'e gider. $\dfrac{\sin x}{x}$ iki yandan sıkıştığı için o da 1'e gider; bu, sıkıştırma teoreminin bir uygulamasıdır. cos x ve sin x / x çift fonksiyonlar olduğundan aynı eşitsizlik −π/2 ile 0 arasında da geçerlidir; limit iki yandan da 1'dir.

Bu limitin sıfır civarındaki davranışını Sıfır Civarında Trigonometrik Limitler grafiğinde, sıkıştırma fikrini de Sıkıştırma Teoremi grafiğinde kurcalayabilirsin.

Kendini sına

Şekildeki çemberin yarıçapı 5 cm, merkez açının gördüğü yayın uzunluğu 4 cm. Merkez açı θ kaç radyandır?

$0{,}8$ rad
Doğru cevap
$\theta = s/r = 4/5 = 0{,}8$ .
Çözüm: Açının radyan ölçüsü, yayın kaç yarıçap boyunda olduğudur: $\theta = \dfrac{s}{r} = \dfrac{4\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = 0{,}8$ rad. Santimetreler sadeleşir. Yay yarıçaptan kısa olduğu için açı 1 radyandan küçük; şekilde de öyle görünüyor.
$1{,}25$ rad
Yanlış
Oran ters alınmış: $r/s$ değil $s/r$ .
Çözüm: Açının radyan ölçüsü, yayın kaç yarıçap boyunda olduğudur: $\theta = \dfrac{s}{r} = \dfrac{4\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = 0{,}8$ rad. Santimetreler sadeleşir. Yay yarıçaptan kısa olduğu için açı 1 radyandan küçük; şekilde de öyle görünüyor.
$20$ rad
Yanlış
Uzunluklar çarpılmaz, bölünür.
Çözüm: Açının radyan ölçüsü, yayın kaç yarıçap boyunda olduğudur: $\theta = \dfrac{s}{r} = \dfrac{4\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = 0{,}8$ rad. Santimetreler sadeleşir. Yay yarıçaptan kısa olduğu için açı 1 radyandan küçük; şekilde de öyle görünüyor.
$0{,}8^\circ$
Yanlış
$s/r$ radyan verir, derece değil.
Çözüm: Açının radyan ölçüsü, yayın kaç yarıçap boyunda olduğudur: $\theta = \dfrac{s}{r} = \dfrac{4\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = 0{,}8$ rad. Santimetreler sadeleşir. Yay yarıçaptan kısa olduğu için açı 1 radyandan küçük; şekilde de öyle görünüyor.

1 radyan yaklaşık kaç derecedir?

$1^\circ$
Yanlış
1 radyan bir yarıçap boyunda yay demek; bu 60°'ye yakın bir açı.
Çözüm: $\pi$ radyan $= 180^\circ$ olduğundan $1$ rad $= 180^\circ/\pi \approx 57{,}3^\circ$ . Kirişi $r$ olan açı $60^\circ$ ; yay kirişten uzun olduğu için 1 radyan biraz daha küçük.
Yaklaşık $57^\circ$
Doğru cevap
$180^\circ/\pi \approx 57{,}3^\circ$ .
Çözüm: $\pi$ radyan $= 180^\circ$ olduğundan $1$ rad $= 180^\circ/\pi \approx 57{,}3^\circ$ . Kirişi $r$ olan açı $60^\circ$ ; yay kirişten uzun olduğu için 1 radyan biraz daha küçük.
$180^\circ$
Yanlış
$180^\circ$ , $\pi$ radyandır, 1 radyan değil.
Çözüm: $\pi$ radyan $= 180^\circ$ olduğundan $1$ rad $= 180^\circ/\pi \approx 57{,}3^\circ$ . Kirişi $r$ olan açı $60^\circ$ ; yay kirişten uzun olduğu için 1 radyan biraz daha küçük.
$90^\circ$
Yanlış
Dik açı $\pi/2 \approx 1{,}57$ radyandır.
Çözüm: $\pi$ radyan $= 180^\circ$ olduğundan $1$ rad $= 180^\circ/\pi \approx 57{,}3^\circ$ . Kirişi $r$ olan açı $60^\circ$ ; yay kirişten uzun olduğu için 1 radyan biraz daha küçük.

135° kaç radyandır?

$\dfrac{3\pi}{4}$
Doğru cevap
$135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$ .
Çözüm: Radyan $=$ derece $\cdot \dfrac{\pi}{180}$ : $135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3\pi}{4}$ .
$\dfrac{4\pi}{3}$
Yanlış
Kesir ters çevrilmiş; $4\pi/3 = 240^\circ$ .
Çözüm: Radyan $=$ derece $\cdot \dfrac{\pi}{180}$ : $135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3\pi}{4}$ .
$\dfrac{3\pi}{2}$
Yanlış
$3\pi/2 = 270^\circ$ , iki katı.
Çözüm: Radyan $=$ derece $\cdot \dfrac{\pi}{180}$ : $135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3\pi}{4}$ .
$135\pi$
Yanlış
$\pi/180$ ile çarpmak gerekir, $\pi$ ile değil.
Çözüm: Radyan $=$ derece $\cdot \dfrac{\pi}{180}$ : $135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3\pi}{4}$ .

$\sin \tfrac{13\pi}{2}$ kaçtır?

$1$
Doğru cevap
$\tfrac{13\pi}{2} = 6\pi + \tfrac{\pi}{2}$ : üç tur ve çeyrek tur.
Çözüm: Her $2\pi$ bir tam turdur: $\dfrac{13\pi}{2} = 6\pi + \dfrac{\pi}{2}$ . Üç tur atıp $\pi/2$ 'ye varılır; orada $P = (0, 1)$ , yani $\sin \tfrac{13\pi}{2} = 1$ .
$-1$
Yanlış
$6\pi$ üç tam tur; geriye $\pi/2$ kalır, $3\pi/2$ değil.
Çözüm: Her $2\pi$ bir tam turdur: $\dfrac{13\pi}{2} = 6\pi + \dfrac{\pi}{2}$ . Üç tur atıp $\pi/2$ 'ye varılır; orada $P = (0, 1)$ , yani $\sin \tfrac{13\pi}{2} = 1$ .
$0$
Yanlış
$13\pi/2$ , $\pi$ 'nin tam katı değil; $\pi/2$ 'nin tek katı.
Çözüm: Her $2\pi$ bir tam turdur: $\dfrac{13\pi}{2} = 6\pi + \dfrac{\pi}{2}$ . Üç tur atıp $\pi/2$ 'ye varılır; orada $P = (0, 1)$ , yani $\sin \tfrac{13\pi}{2} = 1$ .
Tanımsız
Yanlış
Sinüs her gerçek sayıda tanımlı.
Çözüm: Her $2\pi$ bir tam turdur: $\dfrac{13\pi}{2} = 6\pi + \dfrac{\pi}{2}$ . Üç tur atıp $\pi/2$ 'ye varılır; orada $P = (0, 1)$ , yani $\sin \tfrac{13\pi}{2} = 1$ .

Yarıçapı 0,5 m olan bir teker kaymadan yuvarlanırken 3 radyan dönüyor. Teker kaç metre ilerler?

$1{,}5$ m
Doğru cevap
$s = r\theta = 0{,}5 \cdot 3$ .
Çözüm: Kaymadan yuvarlanan teker, döndüğü açı kadar yarıçap boyunu yere serer: $s = r\theta = 0{,}5\ \text{m} \cdot 3 = 1{,}5$ m.
$6$ m
Yanlış
Yarıçapla bölünmez, çarpılır.
Çözüm: Kaymadan yuvarlanan teker, döndüğü açı kadar yarıçap boyunu yere serer: $s = r\theta = 0{,}5\ \text{m} \cdot 3 = 1{,}5$ m.
$3$ m
Yanlış
Yarıçapı unuttun: $s = r\theta$ .
Çözüm: Kaymadan yuvarlanan teker, döndüğü açı kadar yarıçap boyunu yere serer: $s = r\theta = 0{,}5\ \text{m} \cdot 3 = 1{,}5$ m.
$0{,}026$ m
Yanlış
3'ü derece sanıp çevirdin; açı zaten radyan.
Çözüm: Kaymadan yuvarlanan teker, döndüğü açı kadar yarıçap boyunu yere serer: $s = r\theta = 0{,}5\ \text{m} \cdot 3 = 1{,}5$ m.

Bir disk saniyede 2 tam tur atıyor. Diskin açısal hızı kaç rad/s'dir?

$2$ rad/s
Yanlış
Bu frekans: saniyede 2 tur, yani 2 Hz. Bir tur 1 radyan değil.
Çözüm: Frekans $f = 2$ Hz (saniyede 2 tur). Bir tur $2\pi$ radyan olduğundan $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12{,}6$ rad/s.
$4\pi \approx 12{,}6$ rad/s
Doğru cevap
$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2$ .
Çözüm: Frekans $f = 2$ Hz (saniyede 2 tur). Bir tur $2\pi$ radyan olduğundan $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12{,}6$ rad/s.
$\pi$ rad/s
Yanlış
Frekans periyotla karışmış: $\omega = 2\pi/T$ formülünde $T$ yerine $f = 2$ konmuş ( $2\pi/2 = \pi$ ).
Çözüm: Frekans $f = 2$ Hz (saniyede 2 tur). Bir tur $2\pi$ radyan olduğundan $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12{,}6$ rad/s.
$720$ rad/s
Yanlış
$720$ derece/saniye; radyana çevrilmemiş.
Çözüm: Frekans $f = 2$ Hz (saniyede 2 tur). Bir tur $2\pi$ radyan olduğundan $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12{,}6$ rad/s.

Bir öğrenci sin 30° hesaplamak istiyor ama hesap makinesi RAD modunda. Ekranda ne görür?

$\tfrac{1}{2}$
Yanlış
Bu, makine DEG modundayken çıkar.
Çözüm: RAD modunda makine 30'u radyan sayar. 30 radyan yaklaşık 4,8 turdur ve $\sin 30 \approx -0{,}988$ çıkar. $\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$ için makine DEG modunda olmalı ya da $30^\circ = \pi/6$ yazılmalıdır.
Yaklaşık $-0{,}988$
Doğru cevap
RAD modunda 30, 30 radyan sayılır: $\sin 30 \approx -0{,}988$ .
Çözüm: RAD modunda makine 30'u radyan sayar. 30 radyan yaklaşık 4,8 turdur ve $\sin 30 \approx -0{,}988$ çıkar. $\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$ için makine DEG modunda olmalı ya da $30^\circ = \pi/6$ yazılmalıdır.
Hata verir
Yanlış
Sinüs her gerçek sayıda tanımlı; makine hata vermez.
Çözüm: RAD modunda makine 30'u radyan sayar. 30 radyan yaklaşık 4,8 turdur ve $\sin 30 \approx -0{,}988$ çıkar. $\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$ için makine DEG modunda olmalı ya da $30^\circ = \pi/6$ yazılmalıdır.
$30$
Yanlış
Sinüsün değeri −1 ile 1 arasındadır.
Çözüm: RAD modunda makine 30'u radyan sayar. 30 radyan yaklaşık 4,8 turdur ve $\sin 30 \approx -0{,}988$ çıkar. $\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$ için makine DEG modunda olmalı ya da $30^\circ = \pi/6$ yazılmalıdır.

x derece ile ölçülürse $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ kaç olur?

$1$
Yanlış
1 yalnız $x$ radyansa çıkar.
Çözüm: $x$ derece ise $\sin x^\circ = \sin u$ , burada $u = \dfrac{\pi x}{180}$ radyandır. $\dfrac{\sin x^\circ}{x} = \dfrac{\pi}{180} \cdot \dfrac{\sin u}{u}$ ve $u \to 0$ iken $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ ; oran $\dfrac{\pi}{180}$ 'e gider.
$\pi/180$
Doğru cevap
Derecede sinüsün sıfırdaki eğimi $\pi/180$ .
Çözüm: $x$ derece ise $\sin x^\circ = \sin u$ , burada $u = \dfrac{\pi x}{180}$ radyandır. $\dfrac{\sin x^\circ}{x} = \dfrac{\pi}{180} \cdot \dfrac{\sin u}{u}$ ve $u \to 0$ iken $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ ; oran $\dfrac{\pi}{180}$ 'e gider.
$180/\pi$
Yanlış
Ters çevrilmiş: $x^\circ = x\pi/180$ radyan.
Çözüm: $x$ derece ise $\sin x^\circ = \sin u$ , burada $u = \dfrac{\pi x}{180}$ radyandır. $\dfrac{\sin x^\circ}{x} = \dfrac{\pi}{180} \cdot \dfrac{\sin u}{u}$ ve $u \to 0$ iken $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ ; oran $\dfrac{\pi}{180}$ 'e gider.
$0$
Yanlış
Eğim küçük ama sıfır değil.
Çözüm: $x$ derece ise $\sin x^\circ = \sin u$ , burada $u = \dfrac{\pi x}{180}$ radyandır. $\dfrac{\sin x^\circ}{x} = \dfrac{\pi}{180} \cdot \dfrac{\sin u}{u}$ ve $u \to 0$ iken $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ ; oran $\dfrac{\pi}{180}$ 'e gider.

Bu grafikte ne öğrenirsin?

✓Bir açının radyan ölçüsünü, merkez açının gördüğü yayın kaç yarıçap boyunda olduğu olarak tanımlar.
✓Tam turun neden 2π radyan olduğunu çemberin çevresinden çıkarır; π radyan = 180° eşitliğini doğru yorumlar.
✓Dereceyi radyana, radyanı dereceye çevirir; standart açıların radyan karşılıklarını bilir.
✓Açının iki uzunluğun oranı olduğunu, bu yüzden çemberin büyüklüğünden bağımsız ve boyutsuz olduğunu açıklar.
✓Sinüs ve kosinüsü birim çember üzerindeki P(x) = (cos x, sin x) noktasıyla tanımlar; negatif açıları, 2π'den büyük açıları ve periyodikliği bu tanımla yorumlar.
✓Kaymadan yuvarlanmada s = rθ, dönen cisimde v = ωr ve ω = 2πf bağıntılarını radyanla doğru kullanır.
✓sin x ≈ x ve (sin x)′ = cos x'in neden yalnız x radyanken geçerli olduğunu gösterir.

← Bütün etkileşimli grafikler